Úloha č. 1: Srážka s blbcem (25 bodů)
Označme si hmotnost blbce mB = 80 kg, hmotnost inteligenta mI = 70 kg, počáteční rychlost blbce vB = 10,8 km/h = 3 m/s. Předpokládejme, že blbec a inteligent tvoří tzv. izolovanou soustavu (žádné třetí těleso do hry nevstupuje). V takové soustavě platí zákon zachování hybnosti, tedy celková hybnost soustavy před srážkou se rovná celkové hybnosti po srážce. Hybnost je součin hmotnosti a rychlosti.
Protože inteligent je před srážkou v klidu, je celková hybnost soustavy před srážkou tvořena pouze hybností blbce. Je tedy
p1 = mB . vB
Po nepružné srážce uvažujeme jediné těleso vytvořené z blbce a inteligenta o hmotnosti mB + mI a výsledné rychlosti v, kterou se dále budou pohybovat jak blbec, tak inteligent. Celková hybnost po srážce tak bude
p2 = (mB + mI) . v
Protože platí zákon zachování hybnosti, musí být
p2 = p1
a tedy
(mB + mI) . v = mB . vB
a odtud
v = (mB . vB) : (mB + mI) = (80 . 3) : (80 + 70) m/s = 1,6 m/s = 5,76 km/h
Inteligent se po srážce pohybuje společně s blbcem rychlostí 1,6 m/s neboli 5,76 km/h.
(10 bodů)
Při nepružné srážce dochází k přeměně mechanické (přesněji pohybové neboli kinetické) energie na jiné druhy energie.
Kinetická energie soustavy před srážkou je tvořena pouze kinetickou energií blbce (inteligent je v klidu), je tedy
EK1 = ½ . mB . vB2 = 0,5 . 80 . 32 J = 360 J
Kinetická energie soustavy blbec – inteligent po srážce je
EK2 = ½ . (mB + mI) . v2 = 0,5 . (80 + 70) . 1,62 J = 192 J
Ztráty mechanické energie tedy jsou 360 J – 192 J = 168 joulů.
(15 bodů)
Úloha č. 2: Osvětlená diamantová destička (20 bodů)
Vlnová délka světla je určena vztahem
l = v / f
kde v je rychlost světla a f jeho frekvence. Frekvence světla je ve vakuu i ve všech prostředích stejná, jednotlivá prostředí se však liší rychlostí světla a tedy i její vlnovou délkou.
Index lomu je číslo, které říká, kolikrát je světlo v daném prostředí pomalejší než ve vakuu. Index lomu diamantu má nejčastěji udávanou hodnotu hodnotu 2,417, světlo je v něm tedy 2,417krát pomalejší než ve vakuu a tolikrát bude i menší vlnová délka. Vlnová délka uvažovaného světla v diamantu je tedy
760 nm : 2,417 = 314 nm (zaokrouhleně)
Na internetu lze nalézt z některých zdrojů i jiné hodnoty indexu lomu diamantu, např. 2,465. Největší dostupná nalezená hodnota je 2,475. Pro tuto hodnotu by vlnové délka světla v diamantu vycházela 307 nm. Za správné jsou tedy uznány všechny odpovědi v rozmezí 307 nm až 314 nm.
(10 bodů)
Pokud jde o frekvenci světla v diamantu, ta je všude stejná a bude tedy stejná jako ve vakuu. Ze vzorce
l = v / f
vyjádříme
f = v / l
Ve vakuu v = 3 . 108 m/s, l = 760 nm = 7,6 . 10-7 m, takže
f = 3.108 m/s : 7,6 . 10-7 m = 3,95 . 1014 Hz (zaokrouhleně)
(10 bodů)
Úloha č. 3: Solené jezero (30 bodů)
Nejprve si v periodické soustavě prvků najdeme atomové relativní hmotnosti sodíku (23) a chloru (35,5). Molekulová relativní hmotnost soli kamenné čili chloridu sodného (NaCl) tedy činí 23 + 35,5 = 58,5. Molární hmotnost soli je tedy 58,5 g/mol.
Látkové množství sodíku ve 2 gramech soli vypočteme podle populárního vzorce z chemie
n = m / M = 2 g : 58,5 g/mol = 0,034 mol (zaokrouhleně)
( 10 bodů)
Látkové množství je definováno
n = N/NA
kde N je počet částic a NA = 6,02 . 1023 mol-1 je Avogadrova konstanta.
Odtud počet molekul soli a tedy i počet iontů sodíku ve 2 gramech bude
N = n . NA = 0,034 . 6,02 . 1023 = 2,05 . 1022 (zaokrouhleně)
(10 bodů)
A nyní už se podívejme na naše jezero. Jeho plocha S = 5 km2 = 5 000 000 m2, hloubka h = 10 m, objem vody v jezeře je tedy
V = S . h = 5 000 000 m2 . 10 m = 50 000 000 m3
(5 bodů)
V 50 000 000 m3 vody je tedy rozpuštěno 2,05 . 1022 iontů sodíku. A nyní tento počet jednoduchou trojčlenkou přepočítáme na 5 ml vody, což je 0, 000 005 m3:
v 50 000 000 m3 vody………………………….. 2,05 . 1022 iontů sodíku
v 0,000 005 m3 vody……………………………….x iontů sodíku
x = (0,000 005 . 2,05 . 1022) : 50 000 000 = 2,05 . 109 neboli 2 050 000 000 iontů sodíku.
( 5 bodů)
Úloha č. 4: Olověný akumulátor (10 bodů)
Elektrický proud je definován jako náboj prošlý za čas:
I = Q / t , Q je el. náboj, t je čas
Z tohoto vzorce vyjádříme čas:
t= Q / I = 144 000 C : 0,2 A = 720 000 s = 200 h
Akumulátor tedy může zásobovat žárovku elektrickou energií pod dobu 200 hodin.
Úloha č. 5: Jak dlouhý je bazén? (15 bodů)
Označme délku bazénu x.
Za první sledovaný čas Karel uplave (x + 2,5) metrů, Petr (x – 2,5) metrů. Jejich rychlosti jsou tedy v poměru
vK : vP = (x + 2,5) : (x – 2,5)
Za druhý sledovaný čas Karel uplave 2 . x + (x : 5) = 11/5 x, Petr uplave 2 . x – (x : 5) = 9/5 x. Jejich dráhy a tedy i rychlosti budou v poměru
vK : vP = 11/9
( 5 bodů)
Protože jsou rychlosti plavců stálé, musí se oba vypočítané poměry rychlostí sobě rovnat, čímž dostaneme rovnici
(x + 2,5) : (x – 2,5) = 11/9
x + 2,5 = 11/9 . (x – 2,5) /.9
9x + 22,5 = 11 (x – 22,5)
9x + 22,5 = 11x – 27,5
50 = 2 x
x = 25
Délka bazénu je 25 metrů.
(10 bodů)
Úlohy tohoto kola vznikly na základě úloh z webové stránky https://reseneulohy.cz/cs/fyzika (tato skutečnost samozřejmě nemohla být uvedena v zadání tohoto kola).
| Pořadí | Jméno | Třída | Body | Rychlostní prémie | Body celkem |
| 1. | Tereza Tegelová | sexta | 100 | 8 (8 %) | 108 |
| 2. | Lukáš Věchet | sekunda | 100 | 7 (7 %) | 107 |
| 3. | Žaneta Prausová | sexta | 100 | 7 (7 %) | 107 |
| 4. | Ivana Ježková | 1.G | 98 | 8 (8 %) | 106 |
| 5. – 6. | Radim Jisl | sekunda | 100 | 4 (4 %) | 104 |
| 5. – 6. | Petr Zimmermann | sekunda | 100 | 4 (4 %) | 104 |
| 7. | Ester Vitvarová | prima | 100 | 1 (1 %) | 101 |
| 8. – 9. | Veronika Janků | septima | 100 | 1 (1 %) | 101 |
| 8. – 9. | Nikola Klazarová | 3.G | 100 | 1 (1 %) | 101 |
| 10. | Matěj Kracík | kvinta | 100 | 0 (0 %) | 100 |
| 11. | Matyáš Vitvar | sexta | 100 | 0 (0 %) | 100 |
| 12. | Pavlína Bílková | 3.G | 93 | 7 (8 %) | 100 |
| 13. | Antonín Novák | kvinta | 95 | 3 (3 %) | 98 |
| 14. | Anna Bonzetová | 3.G | 85 | 7 (8 %) | 92 |
| 15. | Jakub Kraus | oktáva | 85 | 7 (8 %) | 92 |
| 16. | Tereza Kyselová | 4.G | 90 | 0 (0 %) | 90 |
| 17. | Martin Kalenský | kvinta | 75 | 6 (8 %) | 81 |
| 18. | Michal Dočekal | kvinta | 70 | 0 (0 %) | 70 |
| 19. | Monika Kyselová | kvarta | 58 | 0 (0 %) | 58 |
| 20. | Ema Nguyen Ha Phuong | tercie | 55 | 0 (0 %) | 55 |
| 21. | Jiří Žalský | sekunda | 40 | 0 (0 %) | 40 |
| 22. | Leontýna Macháčková | 1.A | 25 | 1 (3 %) | 26 |
| 23. | Antonín Vitvar | sekunda | 25 | 0 (0 %) | 25 |
V případě shodného bodového zisku je výše umístěn soutěžící z nižšího ročníku.